1. Lasku
Kun lasket 5+2+19, mikä on summa?
Näytä vastausPiilota vastaus
summa on laskun tulo
Kategoria: matematiikka
Matematiikka-arvoituksia ja laskupähkinöitä
Osa näistä arvoituksista ratkeaa laskemalla, osa huomaamalla, ettei laskea tarvitse lainkaan. Sivulle on koottu arkiston kaikki numeroarvoitukset lukijoiden vastauksineen sekä toimituksen valitsemia klassisia laskupähkinöitä, joiden ratkaisut on käyty läpi vaihe vaiheelta.
- lukijoiden lähettämää arvoitusta
- 12
- toimituksen laskupähkinää
- 10
Arvoitus ei ole koulutehtävä
Koulun laskutehtävässä kerrotaan, mitä pitää tehdä: laske summa, ratkaise yhtälö, pyöristä tulos. Matemaattinen arvoitus jättää juuri sen kertomatta. Siinä vaikein vaihe on yleensä päättää, mikä lasku ylipäätään kannattaa laskea – tai kannattaako mikään. Kun 40 hengen kuoro laulaa esityksen seitsemässä minuutissa ja 40 sekunnissa, kolmen laulajan poisjäänti ei lyhennä kappaletta sekuntiakaan. Luvut ovat tehtävässä vain siksi, että ne houkuttelevat tarttumaan kynään.
Tässä kategoriassa on siis kahdenlaisia tehtäviä. Kompissa numerot ovat hämäystä, ja ratkaisu löytyy kysymyksen sanamuodosta: matkalla torille vastaan tulee iso seurue, mutta kysymys koskee sitä, kuka on menossa torille. Oikeissa laskuissa taas luvuilla on väliä, mutta vaisto vie harhaan. Marjaerän kuivatus on tästä paras esimerkki: sadasta kilosta jää jäljelle viisikymmentä, vaikka vesipitoisuus laskee vain prosenttiyksikön. Tulos tuntuu väärältä, kunnes sen laskee itse.
Näiden kahden lajin erottaminen toisistaan on puolet ratkaisusta. Hyvä nyrkkisääntö on tämä: jos tehtävä vaikuttaa epäilyttävän helpolta tai siinä on enemmän lukuja kuin kysymys tarvitsee, kyse on luultavasti kompasta. Jos taas vastauksesi tuli mieleen sekunnissa ja tuntuu itsestään selvältä, tarkista se laskemalla. Samaa tarkkaa lukemista harjoitellaan sivuston logiikka-arvoituksissa, joissa numeroiden tilalla on vihjeitä ja väitteitä.
Arkiston arvoitukset on säilytetty sellaisina kuin lukijat ne lähettivät, vastauksia myöten. Kaikista vastauksista ei tarvitse olla samaa mieltä. Matin autoissa lähettäjä laskee omiksi kaikki muut paitsi vuokra-autot ja saa tulokseksi 18, mutta tehtävän voi perustellusti lukea toisinkin. Arvoitus ”Osaatko laskea?” puolestaan nojaa sääntöön, jonka lähettäjä on itse keksinyt, eikä sitä voi johtaa annetusta esimerkistä yksiselitteisesti. Tällaiset tehtävät herättivät keskustelua jo aikanaan, ja juuri siksi ne ovat mukana: hyvä kiista vastauksesta opettaa perustelemaan.
Laskupähkinät sopivat hyvin tilanteisiin, joissa varsinainen laskeminen ei innosta. Väärä vastaus on niissä osa leikkiä, ja usein kompan ratkaisee ensimmäisenä se, joka laskee hitaammin mutta lukee kysymyksen huolella. Jos seurueessa on alle kouluikäisiä, aloita mieluummin sivulta arvoituksia lapsille. Numeroilla ja sanoilla leikitteleviä pulmia on lisää kategorioissa kompakysymyksiä ja sanat ja kirjaimet.
Lukijoiden lähettämät matematiikka-arvoitukset
Kaikki kategorian arvoitukset lukijoiden antamien äänten mukaisessa järjestyksessä. Mieti ensin, onko kyseessä kompa vai lasku, ja avaa vastaus vasta sitten.
2. Matka torille
Olet menossa torille. Sinua vastaan tulee yksi mies, jolla on kuusi vaimoa, joilla kaikilla on kädessään kuusi koria, joissa kaikissa on kuusi kissanpentua, joilla kaikilla on kuusi kirppua. Kuinka monta henkilöä on menossa torille?
Näytä vastausPiilota vastaus
1. Muut tulevat POIS torilta.
3. Kuoro
40 henkiseltä kuorolta kuluu 7 minuuttia ja 40 sekuntia esittää yksi esitys. Kuinka kauan kestää sama esitys 37 henkiseltä kuorolta?
Näytä vastausPiilota vastaus
7 minuuttia 40 sekuntia, koska ei se esityksen pituus riipu siitä, kuinka monta jäsentä kuorossa on.
4. Paino muuttuu
100KG marjaerästä 99% on vettä. Marjoja kuivatetaan kunnes itse marjaa on 2%. Kuinka paljon marjaerä painaa kuivatuksen jälkeen??
Näytä vastausPiilota vastaus
Marjaerä painaa kuivatuksen jälkeen 50kg. 1% alussa oli 1kg. Mutta jos itse marjojen määrä pysyy samana eli 1kg niin on painon pakko laskea 50kg:ksi jotta lopulta marjaa on jäljellä 2%.
5. 1: 3
1:3= 0.3333333.... 0.3333333.... X 3= ??? Paljonko tuo tekee??
Näytä vastausPiilota vastaus
Vastaus on 1. Koska matematiikan säännöt sanovat: jos on luku loputon kuten: 0.99999.... Niin se on sama kuin 1. voit miettiä saman tällein: olet 0.9cm päässä lisäät koko-ajan yhden kymmenes-osan. Lähenet sitä koko-ajan mutta et koskaa saavuta sitä? Siinä vasta pulma purtavaksi ?
6. Matin Autot
Matilla on 21 autoa. Yksi kolmasosa on rikkinäisiä ja 3 on vuokra-autoja. Lisäksi 6 hänen autoista on tila-autoja. Loput autoista on hänen omia autoja. Kuinka monta omaa autoa hänellä on?
Näytä vastausPiilota vastaus
Matilla on 18 omaa autoa.
7. Renki
Isäntä ja renki kantoivat heinäseipäitä. Kunnes renki sanoi: " Jos sinä otat minulta yhden seipään, niin meillä on molemmilla yhtä monta seivästä." Johon isäntä vastasi: "Joo, mutta jos sinä otat minulta yhden seipään, niin sinulla on kaksi kertaa enemmän kuin minulla." Montako seivästä heillä oli?
Näytä vastausPiilota vastaus
Rengillä oli 7 seivästä, ja isännällä 5 seivästä.
8. Numerot
12356=1 26890=5 13243=0 6745908=5 132465=1
Näytä vastausPiilota vastaus
esimerkiksi ensimmäisessä rivissä on 12356 siinä on yksi ympyrä numerossa 6, joten sen rivin vastaus on 1
9. Numeroista
Mikä on vitosen ja kutosen välissä?
Näytä vastausPiilota vastaus
"ja"-sana
10. Lasi
Sinulla on tyhjä lasi. Sinulla on myös kahden euron kolikoita. Kysymys kuuluu: Kuinka monta kahden euron kolikkoa voit laittaa tyhjään lasiin? Fakta: Lasin koolla ei ole väliä.
Näytä vastausPiilota vastaus
Yhden. Koska, kun olet laittanut lasiin yhden kolikon se ei ole enää tyhjä.
11. Osaatko laskea?
Jos 3 + 2 = 15 Paljonko on 6 + 5 ?
Näytä vastausPiilota vastaus
111 6 - 5 = 1 6 + 5 = 11 1 + 11 = 111
12. Kuinka jaat omenat
Miten saat jaettua neljä (4) omenaa kolmen (3) oppilaan kesken siten, että: -Yhtäkään omenaa ei vahingoiteta millään tavalla (EI saa jakaa osiin ym.) -Kukaan oppilaista ei saa saada toista oppilasta enemmän!!! -Jokainen omenoista täytyy antaa jollekin noista kolmesta oppilaasta. Niitä EI siis saa antaa kellekään ulkopuoliselle
Näytä vastausPiilota vastaus
Toiselle oppilaalle annetaan 2 omenaa ja muille 1. Eli näin: Ensimmäinen oppilas saa yhden omenan Toinen oppilas saa kaksi omenaa Kolmas oppilas saa yhden omenan
Miksi 0,999… on yhtä kuin 1
Arkiston arvoitus 1: 3 kysyy, paljonko on 0,333… kerrottuna kolmella. Lähettäjän vastaus on oikea: tulos on tasan 1 eikä ”melkein yksi”. Asia hämmentää monia, joten käydään se läpi rauhassa.
Lähdetään siitä, mistä arvoituskin lähtee. Yksi jaettuna kolmella on desimaalilukuna 0,333…, jossa kolmoset jatkuvat loputtomiin. Kun luku kerrotaan kolmella, jokaisesta kolmosesta tulee yhdeksikkö ja saadaan 0,999…. Toisaalta kolmasosa kerrottuna kolmella on tietenkin yksi kokonainen. Sama lasku antaa siis kaksi merkintää, 0,999… ja 1, ja niiden täytyy tarkoittaa samaa lukua.
Toinen tapa vakuuttua on kysyä, kuinka paljon luvut eroavat toisistaan. Jos 0,999… olisi pienempi kuin 1, niiden väliin mahtuisi jokin luku, esimerkiksi niiden keskiarvo. Sellaista ei kuitenkaan voi kirjoittaa: erotus 1 − 0,999… on pienempi kuin 0,1, pienempi kuin 0,01, pienempi kuin 0,001 ja pienempi kuin mikä tahansa positiivinen luku, jonka keksit. Ainoa ei-negatiivinen luku, joka on kaikkia positiivisia lukuja pienempi, on nolla. Kun kahden luvun erotus on nolla, ne ovat sama luku.
Kolmas perustelu sopii yläkoululaiselle. Merkitään x = 0,999…. Silloin 10x = 9,999…. Kun jälkimmäisestä vähennetään edellinen, desimaalit kumoavat toisensa ja jää 9x = 9, eli x = 1.
Lähettäjän vastauksessa on mukana ajatus, että lukua lähestytään koko ajan mutta sitä ei koskaan saavuteta. Tässä kohdassa mielikuva johtaa harhaan. Jos yhdeksikköjä kirjoitetaan yksi kerrallaan, jokainen välivaihe – 0,9, sitten 0,99, sitten 0,999 – jää todella alle yhden. Merkintä 0,999… ei kuitenkaan tarkoita mitään näistä välivaiheista eikä kesken olevaa kirjoitustyötä. Se tarkoittaa lukua, jota välivaiheet lähestyvät, eli jonon raja-arvoa, ja se raja-arvo on 1. Samalla tavalla 0,5 ja 1/2 ovat kaksi eri kirjoitusasua samalle luvulle. Aiheesta kerrotaan lisää Wikipedian artikkelissa 0,999….
Viisi arvoitustyyppiä ja mitä ne harjoittavat
Arkiston matematiikka-arvoitukset jakautuvat karkeasti viiteen ryhmään. Jokainen niistä kehittää hieman eri taitoa.
| Arvoitustyyppi | Mitä se harjoittaa | Esimerkki arkistosta |
|---|---|---|
| Kompa, jossa luvut hämäävät | Kysymyksen tarkkaa lukemista ja turhan tiedon karsimista | Kuoro, Matka torille, Lasi |
| Vaistonvastainen lasku | Prosenttien ja suhteiden ymmärtämistä sekä oman tuloksen tarkistamista | Paino muuttuu, 1: 3 |
| Yhtälöpähkinä | Tuntemattoman merkitsemistä ja ehtojen kokeilemista pienillä luvuilla | Renki |
| Säännön keksiminen | Kuvioiden etsimistä ja ennakkoluulotonta katsomista | Numerot, Osaatko laskea? |
| Sanaleikki numeroilla | Kielen ja matematiikan sanaston kaksoismerkityksiä | Lasku, Numeroista |
Toimituksen laskupähkinät
Arkiston rinnalle olemme koonneet tunnettuja laskupähkinöitä, joita on kerrottu kouluissa ja kahvipöydissä sukupolvien ajan. Jokaisessa on yksiselitteinen vastaus, ja ratkaisu on perusteltu vastauskentässä.
Etana kaivossa
Etana on kymmenen metriä syvän kaivon pohjalla. Joka päivä se kiipeää kolme metriä ylöspäin, ja joka yö se valuu kaksi metriä takaisin. Monentenako päivänä etana pääsee kaivon reunalle?
Näytä vastausPiilota vastaus
Kahdeksantena päivänä. Seitsemän vuorokauden jälkeen etana on seitsemän metrin korkeudella. Kahdeksantena päivänä se kiipeää kolme metriä ja on perillä, eikä enää valu takaisin.
Maila ja pallo
Maila ja pallo maksavat yhteensä 1,10 euroa. Maila maksaa tasan euron enemmän kuin pallo. Paljonko pallo maksaa?
Näytä vastausPiilota vastaus
Viisi senttiä. Maila maksaa silloin 1,05 euroa, ja yhteensä hinta on 1,10 euroa. Jos pallo maksaisi kymmenen senttiä, maila maksaisi 1,10 euroa ja summa olisi 1,20 euroa.
Lumpeet lammessa
Lammessa kasvaa lumpeita, ja niiden peittämä ala kaksinkertaistuu joka päivä. Koko lampi on peitossa 30. päivänä. Monentenako päivänä lammesta oli peitossa puolet?
Näytä vastausPiilota vastaus
29. päivänä. Koska ala kaksinkertaistuu päivässä, puolikas lampi muuttuu yhdessä päivässä kokonaiseksi.
Viisi konetta
Viisi konetta valmistaa viisi nappia viidessä minuutissa. Kuinka kauan sadalta koneelta kestää valmistaa sata nappia?
Näytä vastausPiilota vastaus
Viisi minuuttia. Yksi kone tekee yhden napin viidessä minuutissa, joten sata konetta tekee samassa ajassa sata nappia.
Sukat pimeässä
Laatikossa on sekaisin kymmenen mustaa ja kymmenen valkoista sukkaa. Huoneessa on pilkkopimeää. Kuinka monta sukkaa sinun täytyy ottaa, jotta saat varmasti kaksi samanväristä?
Näytä vastausPiilota vastaus
Kolme. Kahdella ensimmäisellä voi käydä niin, että toinen on musta ja toinen valkoinen, mutta kolmas on väistämättä jommankumman pari.
Tiilen paino
Tiili painaa kilon ja puoli tiiltä. Paljonko tiili painaa?
Näytä vastausPiilota vastaus
Kaksi kiloa. Jos kokonainen tiili on kilo ja puolikas tiili, toisen puolikkaan täytyy painaa juuri sen kilon. Kaksi puolikasta painaa siis kaksi kiloa.
Kättelyt
Viisi ystävää tapaa toisensa, ja jokainen kättelee jokaista muuta täsmälleen kerran. Kuinka monta kättelyä nähdään?
Näytä vastausPiilota vastaus
Kymmenen. Jokainen viidestä kättelee neljää muuta, mikä tekisi 20, mutta silloin jokainen kättely tulee lasketuksi kahteen kertaan. 20 jaettuna kahdella on 10.
Äiti ja tytär
Äiti on 32-vuotias ja tytär 8-vuotias. Kuinka monen vuoden kuluttua äiti on tasan kolme kertaa niin vanha kuin tytär?
Näytä vastausPiilota vastaus
Neljän vuoden kuluttua. Silloin äiti on 36 ja tytär 12, ja 3 × 12 = 36.
Kanat ja kanit
Pihalla on kanoja ja kaneja. Päitä on yhteensä kymmenen ja jalkoja 28. Montako kanaa ja montako kania pihalla on?
Näytä vastausPiilota vastaus
Kuusi kanaa ja neljä kania. Jos kaikki kymmenen olisivat kanoja, jalkoja olisi 20. Ylimääräiset kahdeksan jalkaa kuuluvat kaneille, joilla on kullakin kaksi jalkaa enemmän kuin kanalla: 8 jaettuna kahdella on 4 kania.
Luvut yhdestä sataan
Paljonko on 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100? Tehtävän voi ratkaista laskematta sataa yhteenlaskua peräkkäin. Miten?
Näytä vastausPiilota vastaus
5050. Yhdistä luvut pareiksi päistä alkaen: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 ja niin edelleen. Jokaisen parin summa on 101, ja pareja on 50. 50 × 101 = 5050.
Näin ratkaiset laskupähkinän
Viisi vaihetta, jotka toimivat sekä kompissa että oikeissa laskuissa.
- 1
Etsi kysymys ennen lukuja
Lue tehtävän viimeinen virke ensin. Kysytäänkö henkilöiden määrää, aikaa vai painoa? Matka torille -arvoituksessa kirppujen lukumäärällä ei ole merkitystä, koska kysymys koskee torille menijöitä. Kun tiedät, mitä kysytään, näet heti, mitkä luvut ovat tarpeen.
- 2
Epäile ensimmäistä vastaustasi
Hyvä laskupähkinä on rakennettu niin, että mieleen tulee heti jokin luku. Pallo maksaa kymmenen senttiä, lampi on puolillaan viidentenätoista päivänä. Juuri se luku on yleensä ansa. Sijoita vastauksesi takaisin tehtävään ja katso, toteutuvatko kaikki ehdot.
- 3
Kokeile pienillä luvuilla
Jos tehtävässä on sata konetta tai sata lukua, kokeile ensin kahdella tai kolmella. Säännönmukaisuus näkyy pienessä tapauksessa selvemmin, ja sen voi sitten laajentaa. Rengin ja isännän seipäät löytyvät muutamalla kokeilulla ilman yhtälöäkin.
- 4
Piirrä tai kirjoita välivaiheet
Etanan matka kaivossa selviää, kun merkitsee paperille korkeuden jokaisen päivän ja yön jälkeen. Piirros paljastaa, että viimeisenä päivänä etana ei enää valu takaisin. Päässä laskiessa juuri tällainen reunatapaus jää helposti huomaamatta.
- 5
Perustele vastaus ääneen
Arvoitus on ratkaistu vasta, kun osaat selittää, miksi vastaus on oikea. Jos selitys ei vakuuta kuulijaa, vika voi olla selityksessä – tai tehtävässä. Osa arkiston arvoituksista on aidosti tulkinnanvaraisia, ja silloin paras lopputulos on hyvä keskustelu.
Laskut laskettu?
Seuraavaksi kannattaa kokeilla päättelytehtäviä, joissa numerot vaihtuvat vihjeisiin. Einsteinin arvoitus on niistä tunnetuin.